高中数学第一章计数原理.5.1二项式定理学案苏教版

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高中数学第一章计数原理.5.1二项式定理学案苏教版本文简介:1.5.1二项式定理1.掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题.(重点)2.利用二项展开式求特定项或项的系数.(难点)3.二项式系数与项的系数的区别与联系.(易混点)[基础·初探]教材整理二项式定理阅读教材P30~P31“例1”以上部分,完成下列问题.1.二项式定

高中数学第一章计数原理.5.1二项式定理学案苏教版本文内容:

1.5.1

二项式定理

1.掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题.(重点)

2.利用二项展开式求特定项或项的系数.(难点)

3.二项式系数与项的系数的区别与联系.(易混点)

[基础·初探]

教材整理

二项式定理

阅读教材P30~P31“例1”以上部分,完成下列问题.

1.二项式定理

(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn(n∈N*).这个公式叫做二项式定理.

2.二项展开式的通项和二项式系数

(1)(a+b)n展开式共有n+1项,其中Can-rbr叫做二项展开式的第r+1项(也称通项),用Tr+1表示,即Tr+1=Can-rbr.

(2)C(r=0,1,2,…,n)叫做第r+1项的二项式系数.

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)(a+b)n展开式中共有n项.(

)

(2)在公式中,交换a,b的顺序对各项没有影响.(

)

(3)Can-kbk是(a+b)n展开式中的第k项.(

)

(4)(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数相同.(

)

【解析】

(1)×

因为(a+b)n展开式中共有n+1项.

(2)×

因为二项式的第k+1项Can-kbk和(b+a)n的展开式的第k+1项

Cbn-kak是不同的,其中的a,b是不能随便交换的.

(3)×

因为Can-kbk是(a+b)n展开式中的第k+1项.

(4)√

因为(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数都是C.

【答案】

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

2.(1+2x)5的展开式的第3项的系数为________,第3项的二项式系数为________.

【导学号:29440022】

【解析】

(1+2x)5的展开式的第3项的系数为C22=40,第3项的二项式系数为C=10.

【答案】

40

10

[质疑·手记]

预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:

疑问1:

解惑:

疑问2:

解惑:

疑问3:

解惑:

[小组合作型]

二项式定理的正用、逆用

(1)用二项式定理展开5;

(2)化简:C(x+1)n-C(x+1)n-1+C(x+1)n-2-…+(-1)kC(x+1)n-k+…+(-1)nC.

【精彩点拨】

(1)二项式的指数为5,且为两项的和,可直接按二项式定理展开;(2)可先把x+1看成一个整体,分析结构形式,逆用二项式定理求解.

【自主解答】

(1)5=C(2x)5+C(2x)4·+…+C5

=32x5-120

x2+-+-.

(2)原式=C(x+1)n+C(x+1)n-1(-1)+C(x+1)n-2(-1)2+…+C(x+1)n-k(-1)k+…+C(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.

1.展开二项式可以按照二项式定理进行.展开时注意二项式定理的结构特征,准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件.

2.对较复杂的二项式,有时先化简再展开会更简便.

3.对于化简多个式子的和时,可以考虑二项式定理的逆用.对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点,项数,各项幂指数的规律以及各项的系数.

[再练一题]

1.(1)求4的展开式;

(2)化简:1+2C+4C+…+2nC.

【解】

(1)法一:4=C(3)4+C(3)3

·+C(3)2·2+C(3)3+C4

=81x2+108x+54++.

法二:4=

=(81x4+108x3+54x2+12x+1)

=81x2+108x+54++.

(2)原式=1+2C+22C+…+2nC=(1+2)n=3n.

二项式系数与项的系数问题

(1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;

(2)求9的展开式中x3的系数.

【精彩点拨】

利用二项式定理求展开式中的某一项,可以通过二项展开式的通项公式进行求解.

【自主解答】

(1)由已知得二项展开式的通项为Tr+1

=C(2)6-r·r

=(-1)rC·26-r·x3-r,

∴T6=-12·x-.

∴第6项的二项式系数为C=6,

第6项的系数为C·(-1)·2=-12.

(2)Tr+1=Cx9-r·r=(-1)r·C·x9-2r,

∴9-2r=3,∴r=3,即展开式中第四项含x3,其系数为(-1)3·C=-84.

1.二项式系数都是组合数C(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.

2.第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为C.例如,在(1+2x)7的展开式中,第四项是T4=C17-3(2x)3,其二项式系数是C=35,而第四项的系数是C23=280.

[再练一题]

2.(1+2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.

【解】

T6=C(2x)5,T7=C(2x)6,依题意有C25=C26?n=8.

∴(1+2x)n的展开式中,二项式系数最大的项为T5=C(2x)4=1

120

x4.

设第k+1项系数最大,则有

∴5≤k≤6.

∴k=5或k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).

∴系数最大的项为T6=1

792x5,T7=1

792x6.

[探究共研型]

求展开式中的特定项

探究1

如何求4展开式中的常数项.

【提示】

利用二项展开式的通项Cx4-r·=Cx4-2r求解,令4-2r=0,则r=2,所以4展开式中的常数项为C==6.

探究2

(a+b)(c+d)展开式中的每一项是如何得到的?

【提示】

(a+b)(c+d)展开式中的各项都是由a+b中的每一项分别乘以c+d中的每一项而得到.

探究3

如何求(2x+1)3展开式中含x的项?

【提示】

(2x+1)3展开式中含x的项是由x+中的x与分别与(2x+1)3展开式中常数项C=1及x2项C22x2=12x2分别相乘再把积相加得x·C+·C(2x)2=x+12x=13x.即(2x+1)3展开式中含x的项为13x.

已知在n的展开式中,第6项为常数项.

(1)求n;

(2)求含x2项的系数;

(3)求展开式中所有的有理项.

【精彩点拨】

→→→

→→

【自主解答】

通项公式为:

Tr+1=Cx(-3)rx-=C(-3)rx.

(1)∵第6项为常数项,

∴r=5时,有=0,即n=10.

(2)令=2,得r=(10-6)=2,

∴所求的系数为C(-3)2=405.

(3)由题意得,令=k(k∈Z),

则10-2r=3k,即r=5-k.

∵r∈Z,∴k应为偶数,

k=2,0,-2即r=2,5,8,

所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为405x2,-61

236,295

245x-2.

1.求二项展开式的特定项的常见题型

(1)求第k项,Tk=Can-k+1bk-1;

(2)求含xk的项(或xpyq的项);

(3)求常数项;

(4)求有理项.

2.求二项展开式的特定项的常用方法

(1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项);

(2)对于有理项,一般是先写出通项公式,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解;

(3)对于二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.

[再练一题]

3.(1)在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是________.

(2)若6展开式的常数项为60,则常数a的值为________.

【导学号:29440023】

【解析】

(1)x5应是(1+x)10中含x5项、含x2项分别与1,-x3相乘的结果,

∴其系数为C+C(-1)=207.

(2)6的展开式的通项是Tk+1=Cx6-k·(-)kx-2k=Cx6-3k(-)k,令6-3k=0,得k=2,即当k=2时,Tk+1为常数项,即常数项是Ca,

根据已知得Ca=60,解得a=4.

【答案】

(1)207

(2)4

[构建·体系]

1.(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为________.

【解析】

x2y7=x·(xy7),其系数为C,

x2y7=y·(x2y6),其系数为-C,

∴x2y7的系数为C-C=8-28=-20.

【答案】

-20

2.(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)+1=________.

【解析】

由二项式展开式得,原式=[(x-1)+1]5=x5.

【答案】

x5

3.在6的展开式中,中间项是________.

【解析】

由n=6知中间一项是第4项,因T4=C(2x2)3·3=C·(-1)3·23·x3,所以T4=-160

x3.

【答案】

-160

x3

4.在9的展开式中,第4项的二项式系数是________,第4项的系数是________.

【导学号:29440024】

【解析】

Tk+1=C·(x2)9-k·k=k·C·x18-3k,当k=3时,T4=3·C·x9=-x9,所以第4项的二项式系数为C=84,项的系数为-.

【答案】

84

5.求5的展开式的第三项的系数和常数项.

【解】

T3=C(x3)32=C·x5,所以第三项的系数为C·=.

通项Tk+1=C(x3)5-kk=k·Cx15-5k,令15-5k=0,得k=3,所以常数项为T4=C(x3)2·3=.

我还有这些不足:

(1)

(2)

我的课下提升方案:

(1)

(2)

学业分层测评

(建议用时:45分钟)

[学业达标]

一、填空题

1.(2015·广东高考)在(-1)4的展开式中,x的系数为________.

【解析】

Tr+1=C·()4-r·(-1)r.

令r=2,则C(-1)2=6.

【答案】

6

2.16的二项展开式中第4项是________.

【解析】

展开式的通项公式为Tr+1=C·x16-r·r=(-1)r·C·x16-2r.

所以第4项为T4=(-1)3C·x10=-Cx10.

【答案】

-Cx10

3.(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=________.(用数字填写答案)

【导学号:29440025】

【解析】

展开式中x7的系数为Ca3=15,即a3=,解得a=.

【答案】

4.在(1+x)3+(1+)3+(1+)3的展开式中,含有x项的系数为________.

【解析】

C+C+C=3+3+1=7.

【答案】

7

5.使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为________.

【解析】

Tr+1=C(3x)n-rr=C3n-rxn-r,当Tr+1是常数项时,n-r=0,当r=2,n=5时成立.

【答案】

5

6.在(1+x)6·(1-x)4的展开式中,x3的系数是________.

【解析】

(1+x)6·(1-x)4=(1+x)2·(1+x)4·(1-x)4=(1+2x+x2)(1-x2)4.

∴x3的系数为2·C·(-1)=-8.

【答案】

-8

7.若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为________.

【解析】

因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同,即C=C,所以n=8,所以展开式的通项为Tr+1=Cx8-rr=Cx8-2r,令8-2r=-2,解得r=5,所以T6=C2,所以的系数为C=56.

【答案】

56

8.设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B.若B=4A,则a的值是________.

【解析】

对于Tr+1=Cx6-r(-ax-)r=C(-a)r·x6-r,B=C(-a)4,A=C(-a)2.∵B=4A,a>0,∴a=2.

【答案】

2

二、解答题

9.(2016·宿迁高二检测)在6的展开式中,求:

(1)第3项的二项式系数及系数;

(2)含x2的项.

【解】

(1)第3项的二项式系数为C=15,

又T3=C(2)42=24·Cx,

所以第3项的系数为24C=240.

(2)Tk+1=C(2)6-kk=(-1)k26-kCx3-k,

令3-k=2,得k=1.

所以含x2的项为第2项,且T2=-192x2.

10.已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n(m,n∈N*)的展开式中含x项的系数为36,求展开式中含x2项的系数的最小值.

【解】

(1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x的项为C·2x+C·4x=(2C+4C)x,

∴2C+4C=36,即m+2n=18,

(1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x2的项的系数为

t=C22+C42=2m2-2m+8n2-8n.

∵m+2n=18,∴m=18-2n,

∴t=2(18-2n)2-2(18-2n)+8n2-8n

=16n2-148n+612

=16,

∴当n=时,t取最小值,但n∈N*,

∴n=5时,t即x2项的系数最小,最小值为272.

[能力提升]

1.(2016·天津高考)8的展开式中x7的系数为________.(用数字作答)

【解析】

8的通项Tr+1=C(x2)8-rr=(-1)rCx16-3r,当16-3r=7时,r=3,则x7的系数为(-1)3C=-56.

【答案】

-56

2.3展开式中的常数项是________.

【解析】

3=,

在(1-|x|)6中,|x|3的系数A=C(-1)3=-20.

即所求展开式中常数项是-20.

【答案】

-20

3.若6的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为________.

【导学号:29440026】

【解析】

Tr+1=C(ax2)6-r·r=Ca6-r·brx12-3r,令12-3r=3,得r=3,所以Ca6-3b3=20,即a3b3=1,所以ab=1,所以a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b,且ab=1时,等号成立.故a2+b2的最小值是2.

【答案】

2

4.已知n的展开式的前三项系数的和为129,试问这个展开式中是否有常数项?有理项?如果没有,请说明理由;如果有,求出这一项.

【解】

∵Tr+1=C·x·2r·x-=C·2r·x,

据题意,C+C·2+C·22=129,解得n=8,

∴Tr+1=C·2r·x,且0≤r≤8.

由于=0无整数解,所以该展开式中不存在常数项.

又=4-,∴当r=0或r=6时,∈Z,

即展开式中存在有理项,它们是:

T1=x4,T7=26·C·x-1=.

快乐的心 2022-07-03 16:23:09

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泉思如涌还是思如泉涌

是思如泉涌。
思如泉涌,汉语成语,拼音是sī rú quán yǒng,意思是才思像喷涌的泉水,形容才思敏捷。
出处:《旧唐书·苏颋传》:“舍人思如涌泉,峤所不及也。”
造句:
1、文章的得意之处,必是思如泉涌时而作,而搜索枯肠是写不出好文章的。
2、对文章进行编辑可以在最后进行,最重要的事情是让你思如泉涌,创造出最好的作品。
近义词:才思泉涌、文思如泉。

衣是独体字结构吗

“衣”是独体字结构,读作yī、yì,是汉语通用规范一级字(常用字)。此字初文见于商代甲骨文,其古字形像上衣,本义即上衣,古代下衣叫裳。后为衣服的总称。又引申为覆盖在或包在物体表面的东西。以上义读yī。由衣的作用引申出包裹、覆盖的意思。衣也有穿衣的意思,用作动词,读yì。
“衣”的出处:
1、《诗经·邶风·绿衣》:“绿衣黄裳。”
2、《诗经·齐风·东方未明》:“东方未明,颠倒衣裳。”
3、《小园独立》:“新泥添燕户,细雨湿莺衣”。
“衣”造句:
1、他胆大心细,每一件事都做得天衣无缝。
2、这真是个天衣无缝的计划啊!
3、爸爸卖的产品真是天衣无缝。
4、这幅画原已破损,经过郑师傅修补,简直是天衣无缝,一点痕迹都看不出来。
5、他俩搭配演出的默契,真可说是天衣无缝。

怎么写诗押韵

写诗押韵的方法:
一、要明确古诗的绝句和律诗是不同的。
对于绝句:五字一句的称五言绝句;七字一句的称七言古诗。一般由四句组成,可分为律绝和古绝。
对于律诗:五个字一句的律诗叫五言律诗,简称五律;七个字一句的律诗叫七言律诗,简称七律。
二、押韵区别:
绝句在押韵上,根据形式的不同,要求也不一样,其中律绝最严格,和律诗一样,要讲究平仄相对,押韵严格。但是“古绝”一类的绝句就没有这么要求的严格了。
律诗:在字句、押韵、平仄、对仗各方面都有严格规定。还有一句平仄调配的变通规定,为常用口诀:“一三五不论,二四六分明”。其意思就是:一三五字不比拘泥于平仄相对,但是二四六字一定要,“平”对“仄”或“仄”对“平”。
三、写好押韵,要注重诗词上下句中,对子的使用。
对子歌,也是人们总结的平仄相对的对子,所组成的一首歌谣,是一种对偶句。它言简意深,词语对仗,平仄协调,是汉语言独特的艺术形式。
例如:天对地,雨对风。大陆对长空。山花对海树,赤日对苍穹。雷隐隐,雾蒙蒙。日下对天中。风高秋月白,雨霁晚霞红。牛女二星河左右,参商两曜斗西东。十月塞边,飒飒寒霜惊戍旅;三冬江上,漫漫朔雪冷鱼翁。
四、通过讲究诗中的“平”、“仄”相对,再配合对子歌,使诗中词语对仗,勤加练习就能写出押韵的诗。

形容清冷疏离的气质诗词

形容清冷疏离的气质诗词有:
1、垆边人似月,皓腕凝霜雪。——韦庄《菩萨蛮》
2、绛绡缕薄冰肌莹,雪腻酥香。——李清照《丑奴儿》
3、妖姬脸似花含露,玉树流光照后庭。——陈叔宝《玉树后庭花》
4、北方有佳人,绝世而独立。一顾倾人城,再顾倾人国。——李延年《李延年歌》
5、秀色掩今古,荷花羞玉颜。浣纱弄碧水,自与清波闲。皓齿信难开,沉吟碧云间。——李白《西施》
6、娉娉袅袅十三馀,豆蔻梢头二月初。春风十里扬州路,卷上珠帘总不如。——杜牧《赠别》
7、荷叶罗裙一色裁,芙蓉向脸两边开。乱入池中看不见,闻歌始觉有人来。——王昌龄《采莲曲》
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