高中数学第一章计数原理.5.1二项式定理学案苏教版
高中数学第一章计数原理.5.1二项式定理学案苏教版本文简介:1.5.1二项式定理1.掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题.(重点)2.利用二项展开式求特定项或项的系数.(难点)3.二项式系数与项的系数的区别与联系.(易混点)[基础·初探]教材整理二项式定理阅读教材P30~P31“例1”以上部分,完成下列问题.1.二项式定
高中数学第一章计数原理.5.1二项式定理学案苏教版本文内容:
1.5.1
二项式定理
1.掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题.(重点)
2.利用二项展开式求特定项或项的系数.(难点)
3.二项式系数与项的系数的区别与联系.(易混点)
[基础·初探]
教材整理
二项式定理
阅读教材P30~P31“例1”以上部分,完成下列问题.
1.二项式定理
(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn(n∈N*).这个公式叫做二项式定理.
2.二项展开式的通项和二项式系数
(1)(a+b)n展开式共有n+1项,其中Can-rbr叫做二项展开式的第r+1项(也称通项),用Tr+1表示,即Tr+1=Can-rbr.
(2)C(r=0,1,2,…,n)叫做第r+1项的二项式系数.
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)(a+b)n展开式中共有n项.(
)
(2)在公式中,交换a,b的顺序对各项没有影响.(
)
(3)Can-kbk是(a+b)n展开式中的第k项.(
)
(4)(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数相同.(
)
【解析】
(1)×
因为(a+b)n展开式中共有n+1项.
(2)×
因为二项式的第k+1项Can-kbk和(b+a)n的展开式的第k+1项
Cbn-kak是不同的,其中的a,b是不能随便交换的.
(3)×
因为Can-kbk是(a+b)n展开式中的第k+1项.
(4)√
因为(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数都是C.
【答案】
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√
2.(1+2x)5的展开式的第3项的系数为________,第3项的二项式系数为________.
【导学号:29440022】
【解析】
(1+2x)5的展开式的第3项的系数为C22=40,第3项的二项式系数为C=10.
【答案】
40
10
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
解惑:
疑问2:
解惑:
疑问3:
解惑:
[小组合作型]
二项式定理的正用、逆用
(1)用二项式定理展开5;
(2)化简:C(x+1)n-C(x+1)n-1+C(x+1)n-2-…+(-1)kC(x+1)n-k+…+(-1)nC.
【精彩点拨】
(1)二项式的指数为5,且为两项的和,可直接按二项式定理展开;(2)可先把x+1看成一个整体,分析结构形式,逆用二项式定理求解.
【自主解答】
(1)5=C(2x)5+C(2x)4·+…+C5
=32x5-120
x2+-+-.
(2)原式=C(x+1)n+C(x+1)n-1(-1)+C(x+1)n-2(-1)2+…+C(x+1)n-k(-1)k+…+C(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
1.展开二项式可以按照二项式定理进行.展开时注意二项式定理的结构特征,准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件.
2.对较复杂的二项式,有时先化简再展开会更简便.
3.对于化简多个式子的和时,可以考虑二项式定理的逆用.对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点,项数,各项幂指数的规律以及各项的系数.
[再练一题]
1.(1)求4的展开式;
(2)化简:1+2C+4C+…+2nC.
【解】
(1)法一:4=C(3)4+C(3)3
·+C(3)2·2+C(3)3+C4
=81x2+108x+54++.
法二:4=
=(81x4+108x3+54x2+12x+1)
=81x2+108x+54++.
(2)原式=1+2C+22C+…+2nC=(1+2)n=3n.
二项式系数与项的系数问题
(1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;
(2)求9的展开式中x3的系数.
【精彩点拨】
利用二项式定理求展开式中的某一项,可以通过二项展开式的通项公式进行求解.
【自主解答】
(1)由已知得二项展开式的通项为Tr+1
=C(2)6-r·r
=(-1)rC·26-r·x3-r,
∴T6=-12·x-.
∴第6项的二项式系数为C=6,
第6项的系数为C·(-1)·2=-12.
(2)Tr+1=Cx9-r·r=(-1)r·C·x9-2r,
∴9-2r=3,∴r=3,即展开式中第四项含x3,其系数为(-1)3·C=-84.
1.二项式系数都是组合数C(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.
2.第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为C.例如,在(1+2x)7的展开式中,第四项是T4=C17-3(2x)3,其二项式系数是C=35,而第四项的系数是C23=280.
[再练一题]
2.(1+2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
【解】
T6=C(2x)5,T7=C(2x)6,依题意有C25=C26?n=8.
∴(1+2x)n的展开式中,二项式系数最大的项为T5=C(2x)4=1
120
x4.
设第k+1项系数最大,则有
∴5≤k≤6.
∴k=5或k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).
∴系数最大的项为T6=1
792x5,T7=1
792x6.
[探究共研型]
求展开式中的特定项
探究1
如何求4展开式中的常数项.
【提示】
利用二项展开式的通项Cx4-r·=Cx4-2r求解,令4-2r=0,则r=2,所以4展开式中的常数项为C==6.
探究2
(a+b)(c+d)展开式中的每一项是如何得到的?
【提示】
(a+b)(c+d)展开式中的各项都是由a+b中的每一项分别乘以c+d中的每一项而得到.
探究3
如何求(2x+1)3展开式中含x的项?
【提示】
(2x+1)3展开式中含x的项是由x+中的x与分别与(2x+1)3展开式中常数项C=1及x2项C22x2=12x2分别相乘再把积相加得x·C+·C(2x)2=x+12x=13x.即(2x+1)3展开式中含x的项为13x.
已知在n的展开式中,第6项为常数项.
(1)求n;
(2)求含x2项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
【精彩点拨】
→
→→→
→→
→
【自主解答】
通项公式为:
Tr+1=Cx(-3)rx-=C(-3)rx.
(1)∵第6项为常数项,
∴r=5时,有=0,即n=10.
(2)令=2,得r=(10-6)=2,
∴所求的系数为C(-3)2=405.
(3)由题意得,令=k(k∈Z),
则10-2r=3k,即r=5-k.
∵r∈Z,∴k应为偶数,
k=2,0,-2即r=2,5,8,
所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为405x2,-61
236,295
245x-2.
1.求二项展开式的特定项的常见题型
(1)求第k项,Tk=Can-k+1bk-1;
(2)求含xk的项(或xpyq的项);
(3)求常数项;
(4)求有理项.
2.求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项);
(2)对于有理项,一般是先写出通项公式,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解;
(3)对于二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.
[再练一题]
3.(1)在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是________.
(2)若6展开式的常数项为60,则常数a的值为________.
【导学号:29440023】
【解析】
(1)x5应是(1+x)10中含x5项、含x2项分别与1,-x3相乘的结果,
∴其系数为C+C(-1)=207.
(2)6的展开式的通项是Tk+1=Cx6-k·(-)kx-2k=Cx6-3k(-)k,令6-3k=0,得k=2,即当k=2时,Tk+1为常数项,即常数项是Ca,
根据已知得Ca=60,解得a=4.
【答案】
(1)207
(2)4
[构建·体系]
1.(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为________.
【解析】
x2y7=x·(xy7),其系数为C,
x2y7=y·(x2y6),其系数为-C,
∴x2y7的系数为C-C=8-28=-20.
【答案】
-20
2.(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)+1=________.
【解析】
由二项式展开式得,原式=[(x-1)+1]5=x5.
【答案】
x5
3.在6的展开式中,中间项是________.
【解析】
由n=6知中间一项是第4项,因T4=C(2x2)3·3=C·(-1)3·23·x3,所以T4=-160
x3.
【答案】
-160
x3
4.在9的展开式中,第4项的二项式系数是________,第4项的系数是________.
【导学号:29440024】
【解析】
Tk+1=C·(x2)9-k·k=k·C·x18-3k,当k=3时,T4=3·C·x9=-x9,所以第4项的二项式系数为C=84,项的系数为-.
【答案】
84
-
5.求5的展开式的第三项的系数和常数项.
【解】
T3=C(x3)32=C·x5,所以第三项的系数为C·=.
通项Tk+1=C(x3)5-kk=k·Cx15-5k,令15-5k=0,得k=3,所以常数项为T4=C(x3)2·3=.
我还有这些不足:
(1)
(2)
我的课下提升方案:
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.(2015·广东高考)在(-1)4的展开式中,x的系数为________.
【解析】
Tr+1=C·()4-r·(-1)r.
令r=2,则C(-1)2=6.
【答案】
6
2.16的二项展开式中第4项是________.
【解析】
展开式的通项公式为Tr+1=C·x16-r·r=(-1)r·C·x16-2r.
所以第4项为T4=(-1)3C·x10=-Cx10.
【答案】
-Cx10
3.(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=________.(用数字填写答案)
【导学号:29440025】
【解析】
展开式中x7的系数为Ca3=15,即a3=,解得a=.
【答案】
4.在(1+x)3+(1+)3+(1+)3的展开式中,含有x项的系数为________.
【解析】
C+C+C=3+3+1=7.
【答案】
7
5.使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为________.
【解析】
Tr+1=C(3x)n-rr=C3n-rxn-r,当Tr+1是常数项时,n-r=0,当r=2,n=5时成立.
【答案】
5
6.在(1+x)6·(1-x)4的展开式中,x3的系数是________.
【解析】
(1+x)6·(1-x)4=(1+x)2·(1+x)4·(1-x)4=(1+2x+x2)(1-x2)4.
∴x3的系数为2·C·(-1)=-8.
【答案】
-8
7.若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为________.
【解析】
因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同,即C=C,所以n=8,所以展开式的通项为Tr+1=Cx8-rr=Cx8-2r,令8-2r=-2,解得r=5,所以T6=C2,所以的系数为C=56.
【答案】
56
8.设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B.若B=4A,则a的值是________.
【解析】
对于Tr+1=Cx6-r(-ax-)r=C(-a)r·x6-r,B=C(-a)4,A=C(-a)2.∵B=4A,a>0,∴a=2.
【答案】
2
二、解答题
9.(2016·宿迁高二检测)在6的展开式中,求:
(1)第3项的二项式系数及系数;
(2)含x2的项.
【解】
(1)第3项的二项式系数为C=15,
又T3=C(2)42=24·Cx,
所以第3项的系数为24C=240.
(2)Tk+1=C(2)6-kk=(-1)k26-kCx3-k,
令3-k=2,得k=1.
所以含x2的项为第2项,且T2=-192x2.
10.已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n(m,n∈N*)的展开式中含x项的系数为36,求展开式中含x2项的系数的最小值.
【解】
(1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x的项为C·2x+C·4x=(2C+4C)x,
∴2C+4C=36,即m+2n=18,
(1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x2的项的系数为
t=C22+C42=2m2-2m+8n2-8n.
∵m+2n=18,∴m=18-2n,
∴t=2(18-2n)2-2(18-2n)+8n2-8n
=16n2-148n+612
=16,
∴当n=时,t取最小值,但n∈N*,
∴n=5时,t即x2项的系数最小,最小值为272.
[能力提升]
1.(2016·天津高考)8的展开式中x7的系数为________.(用数字作答)
【解析】
8的通项Tr+1=C(x2)8-rr=(-1)rCx16-3r,当16-3r=7时,r=3,则x7的系数为(-1)3C=-56.
【答案】
-56
2.3展开式中的常数项是________.
【解析】
3=,
在(1-|x|)6中,|x|3的系数A=C(-1)3=-20.
即所求展开式中常数项是-20.
【答案】
-20
3.若6的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为________.
【导学号:29440026】
【解析】
Tr+1=C(ax2)6-r·r=Ca6-r·brx12-3r,令12-3r=3,得r=3,所以Ca6-3b3=20,即a3b3=1,所以ab=1,所以a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b,且ab=1时,等号成立.故a2+b2的最小值是2.
【答案】
2
4.已知n的展开式的前三项系数的和为129,试问这个展开式中是否有常数项?有理项?如果没有,请说明理由;如果有,求出这一项.
【解】
∵Tr+1=C·x·2r·x-=C·2r·x,
据题意,C+C·2+C·22=129,解得n=8,
∴Tr+1=C·2r·x,且0≤r≤8.
由于=0无整数解,所以该展开式中不存在常数项.
又=4-,∴当r=0或r=6时,∈Z,
即展开式中存在有理项,它们是:
T1=x4,T7=26·C·x-1=.