正定矩阵与广义正定矩阵的性质及其应用开题报告

正定矩阵与广义正定矩阵的性质及其应用开题报告本文简介：毕业论文开题报告题目：正定矩阵与广义正定矩阵的性质及其应用学生姓名：时小玲学号：121005217专业：信息与计算科学指导教师：李云红2016年04月14日开题报告填写要求1．开题报告（含“文献综述”）作为毕业设计（论文）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一。此报告应在指导教师指导下，由学生在

正定矩阵与广义正定矩阵的性质及其应用开题报告本文内容：

毕业论文开题报告

题

目：正定矩阵与广义正定矩阵的性质

及其应用

学生姓名：

时小玲

学

号：

121005217

专

业：

信息与计算科学

指导教师：

李云红

2016年04月14日

开题报告填写要求

1．开题报告（含“文献综述”）作为毕业设计（论文）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一。此报告应在指导教师指导下，由学生在毕业设计（论文）工作前期内完成，经指导教师签署意见及所在专业审查后生效；

2．开题报告内容必须用黑墨水笔工整书写或按教务处统一设计的电子文档标准格式打印，禁止打印在其它纸上后剪贴，完成后应及时交给指导教师签署意见；

3．“文献综述”应按论文的格式成文，并直接书写（或打印）在本开题报告第一栏目内，学生写文献综述的参考文献应不少于10篇（不包括辞典、手册）；

4．有关年月日等日期的填写，应当按照国标GB/T

7408—94《数据元和交换格式、信息交换、日期和时间表示法》规定的要求，一律用阿拉伯数字书写。如“2004年2月26日”或“2004-02-26”。

毕业论文开题报告

1．文献综述：

1.1

知识背景

正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位,研究矩阵的正定性,无论对于理论或应用都有重要价值。历史上,正定矩阵的研究最先出现于二次型与Hermite

型的研究中,这种正定只限于实对称矩阵Hermite矩阵,这就是大家熟悉的实对称正定矩阵和Hermite正定矩阵。矩阵的这种常规的正定性,虽然在几何学、物理学以及概率论等学科中都得到了重要的应用,但随着矩阵论本身及应用矩阵的其它学科或领域(如数学规划、投入产出的矩阵理论、现代控制等)的发展,越来越不能满足需要,于是有不少学者开始致力于研究未必实对称或未必是

Hermite型的广义正定矩阵——亚正定矩阵和复正定矩阵。

1970年,Johnson

C.R引入了实正定矩阵的概念[1]。1985年,Hom,R.A.和Johnson,C.R.也在他们的名著Matrix

Analysis一书中提出了实正定矩阵的定义,但未对这类广义正定矩阵作进一步的深入论证与研究。同年,李炯生对这类广义正定矩阵的性质和特征作了较深入的研究。实对称矩阵与实对称正定矩阵的多方面应用曾促使人们将非对称矩阵加以对称化,以解决与原矩阵相关的问题。“加法对称化”(即将原方阵与其转置阵相加,使之成为实对称矩阵,以研究原矩阵的各种问题)便是一类很有效的研究方法，即亚正定矩阵。1990年,屠伯埙提出了亚正定矩阵的定义,并对其进行了较系统的论证与研究。

对于一般的复矩阵的正定性,直到1985年,Horn,1LA.和Johnson,C.R.才在他们的名著MatrixAnalysis一书中提出了复正定矩阵的概念，但是没有对复正定矩阵做具体的论证与研究。它既可以看作是Hermite正定矩阵的推广,也可以看作是亚正定矩阵的推广,实对称正定矩阵、Hermite正定矩阵、亚正定矩阵都是它的特例。

1.2

正定矩阵与广义正定矩阵的一些理论和定义

下面我们介绍一些正定矩阵以及广义正定矩阵中的基本定义和定理。

定义1

，且，若，都有，则称为对称正定矩阵。

1970年，Johnson推广了对称正定矩阵的概念。得到正定矩阵的定义。

定义2

，若，都有，则称为正定矩阵。

1984年，佟文廷又推广了上述的正定矩阵的定义，得到了广义正定矩阵的概念。

定义

3

设，若，都有正对角矩阵，使得，则称为广义正定矩阵。

以后又有其他学者继续推广上述的广义正定矩阵的定义，得到更加广义的正定矩阵的概念，这里就不再讨论了。

下面研究对称正定矩阵，正定矩阵与广义正定矩阵的性质和判定定理。

定理

1

设A为正定矩阵,若（A与B合同）,则B也是正定矩阵。

定理2

对角矩阵正定的充分必要条件。

定理3

对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是它的特征值全大于零。

定理4

矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是它对应的二次型正定。

定理5

矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是矩阵为对称正定矩阵。

定理6

矩阵A为广义正定矩阵的充分必要条件是存在矩阵，使得或，其中为对称正定矩阵，为正定矩阵。

1.3广义正定矩阵的应用

随着数学知识的不断完善，正定矩阵在实际中被广泛的应用起来，正定矩阵在数学规划的线性回归模型结构理论中得到了应用，广义正定矩阵在稳定矩阵的研究中有很大作用，因此对广义正定矩阵的研究是十分有意义的。

广义正定矩阵涉及到了物理、概率论与统计、计量经济学等各个领域，在投入产出的矩阵理论中,现代经济管理中,数学规划的最优算法中,在严格凸向量的检验中,以及在各种线性回归模型结构的基本理论中都得到了重要的应用。总之，研究广义正定矩阵的性质，将正定矩阵推广到广义正定矩阵，对于自然科学的发展、理论学科的进步有着不可替代的重要作用。

参

考

文

献

1

Johnson

C.R.

Positive

definite

matrices.

Amer

Math

Monthly,1970,77,259

2

李炯生.实方阵的正定性,数学的实践与认识,1985,3,67~73

3

屠伯埙.亚正定阵理论.数学学报,1990

(4):462~471

4Johnson

C

R.

Positive

Definite

Matrices.

Amer

Math

monthey,1970(77):

259~2***

5佟文廷.广义正定矩阵.数学学报.1984（6）:801~810

6夏长富.矩阵对称性的进一步推广.数学研究与评论.1988

(4):

499~504

7林德芳.正定矩阵的若干等价命题.

四川教育学院学报.1997(02):

98~101

8庭骥.判别正定矩阵的充分必要条件及其等价性.

焦作矿业学院学报，1992

(02)：107~110

9朱金寿.关于亚正定矩阵.

武汉理工大学学报,2001（09）:

90~109

10常兴邦.判别正定矩阵的充分必要条件及其等价性.

洛阳师范学院学报，2001（05）:43~45

11岑燕斌,罗泽龙.一类实对称矩阵正定的充分条件.

黔南民族师范学院学报，2010(6):1~4

12邹黎敏,胡兴凯,伍俊良.正定矩阵的性质及判别法.

中山大学学报(自然科学版),2009(5):16~23

2．本课题要研究或解决的问题和拟采用的研究手段及途径：

2.1

研究解决的问题

正定矩阵不仅在数学领域有着至关重要的作用，在人们的生活中也有着不可替代的地位。本文旨在解决正定矩阵和广义正定矩阵的应用问题。正定矩阵是矩阵理论中的一个重要组成部分.对它的研究最先出现在实二次型与Hermite二次型的讨论中,但它要求矩阵是实对称的或是Hermite的。随着实际应用二的需要,讨论未必对称矩阵的一种正定性(即广义正定)愈显迫切。通常正定矩阵的一个重要应用是对线性和非线性动力系统稳定性的研究。它的一些应用也能帮我们解决一些实际问题以及学术领域上的理论。

2.2

采用的研究手段及途径

首先要查阅相关的书籍以及一些著名的期刊和论文，并上网浏览相关网页，积累正定矩阵和广义正定矩阵在各个领域应用的实例，其次要对这些资料进行深入研究，结合身边的生活事例和所学知识，讨论它们二者的应用。

毕业论文开题报告

指导教师意见：

时小玲的选题为“正定矩阵与广义正定矩阵的性质及其应用”，其开题报告符合本专业的培养目标和要求，本人具备完成选题的能力和条件。题目紧扣专业方向、紧扣现实，做到理论与实践结合、有一定的现实意义。

该学生对于所开课题进行了较为详尽的研究，参考了许多文献，熟悉并掌握了课题的来源、研究现状和发展趋势。本课题是学生所学专业知识的应用和延续，符合学生专业发展方向，对于提高学生的基本知识和技能，深入理解正定矩阵在工程中的应用，提高学生的研究能力有很大帮助。

在开题报告中，该学生先讨论了正定矩阵和广义正定矩阵的定义，然后讨论了正定矩阵和广义正定矩阵的性质和判定方法，最后研究他们在工程中的应用。该研究工作的步骤研究方法和研究计划合理，难度适中，预计该生能够在预定时间内完成对该课题的研究。

同意开题。

指导教师：

李云红

2016年04月14日