高中数学第四章导数应用章末综合测评北师大版选修

高中数学第四章导数应用章末综合测评北师大版选修本文简介：(四)导数应用章末综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上()A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值【解析】∵f(x)＝2x－cosx，∴f

高中数学第四章导数应用章末综合测评北师大版选修本文内容：

(四)

导数应用

章末综合测评

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．函数f(x)＝2x－cos

x在(－∞，＋∞)上(

)

A．无最值B．有极值

C．有最大值

D．有最小值

【解析】

∵f(x)＝2x－cos

x，

∴f′(x)＝2＋sin

x>0恒成立．

故f(x)＝2x－cos

x在(－∞，＋∞)上是增加的，

既没有最大值也没有最小值．

【答案】

A

2．一质点运动方程为s＝20＋gt2(g＝9.8

m/s2)，则t＝3秒时的瞬时速度为(

)

A．20

m/s

B．49.4

m/s

C．29.4

m/s

D．***.1

m/s

【解析】

s′＝gt，∴t＝3时s′＝3g＝29.4

m/s.

【答案】

C

3．如图1所示是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是(

)

图1

A．在区间(－2,1)内f(x)是增函数

B．在(1,3)内f(x)是减函数

C．在(4,5)内f(x)是增函数

D．在x＝2时，f(x)取到极小值

【解析】

由图像可知，在(4,5)内，f′(x)>0，∴这时f(x)是增函数．

【答案】

C

4．已知对任意实数x，有f(－x)＝f(x)，且x>0时，f′(x)>0，则x0

B．f′(x)0时，f′(x)>0，故f(x)在x>0时为增加的，由偶函数在对称区间上单调性相反，可知当x0)，则f(x)在R上为增加的充要条件是(

)

A．b2－4ac>0

B．b>0，c>0

C．b＝0，c>0

D．b2－3ac≤0

【解析】

要使f(x)在R上为增加的，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0在R上恒成立(但f(x)不恒等于零)，故只需Δ＝4b2－12ac≤0，即b2－3ac≤0.

【答案】

D

7．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值与最小值分别是(

)

A．5，－15

B．5,4

C．－4，－15

D．5，－16

【解析】

y′＝6x2－6x－12，令y′＝0，得x＝－1,2，

又f(2)＝－15，f(0)＝5，f(3)＝－4，

∴最大值、最小值分别是5，－15.

【答案】

A

8．函数y＝x－2sin

x的图像大致是(

)

【解析】

因为y′＝－2cos

x，所以令y′＝－2cos

x>0，得cos

x，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项C正确．

【答案】

C

9．(2016·青岛高二检测)若a∈R，函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则(

)

A．a＜－1

B．a＞－1

C．a＞－

D．a＜－

【解析】

∵y′＝ex＋a，且函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，∴方程y′＝ex＋a＝0有大于0的解，∵x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.

【答案】

A

10．(2016·福州高二检测)若a＞0，b＞0，且f(x)＝4x3－ax2＋2－2bx在x＝1处有极值，则ab的最大值为(

)

A．2

B．3

C．6

D．9

【解析】

f′(x)＝12x2－2ax－2b，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6，又a＞0，b＞0，∴a＋b≥2，

∴2≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取“＝”．

【答案】

D

11．若0ln

x2－ln

x1

B．e－ex2x1e

D．x2eg(x2)，

所以x2e>x1e.

【答案】

C

12．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20

cm，要使其体积最大，则高应为(

)

A.

cm

B．100

cm

C．20

cm

D.

cm

【解析】

设高为h，体积为V，

则底面半径r2＝202－h2＝400－h2，

∴V＝πr2h＝(400h－h3)，V′＝(400－3h2)，

令V′＝0，得h＝或h＝－(舍)，

则00，h>时，V′0.

即4a2－12>0，

∴a2－3a＋2>0，∴a>2或a0；

当x∈(1,2)时，f′(x)0时，

所以f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时，函数取得极小值；

当x＝1时，函数取得极大值．

只有①不正确．

【答案】

①

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.

(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值；

(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

【解】

f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.

(1)由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，所以a＝9.

(2)因为Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)>0，

所以不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．

18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a∈R，b∈R)．若a>0，且f(x)的极大值为5，极小值为1，求f(x)的解析式．

【解】

∵f(x)＝x3＋ax2＋b，∴f′(x)＝3x2＋2ax.

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－.

又∵a>0，∴－0时，f′(x)>0；

当－1时，f(x)1时，g′(x)＝＋－0，又由h>0，可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；

当r∈(5,5)时，V′(r)0.

要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，

则解得－2