数学毕业论文--关于连续与一致连续

The

Necessary

and

Sufficient

Condition

of

Consistent

Continuity

of

Function

and

Its

Application

SONG

Wen-tan，WANG

Xiao-dong

Abstract:

This

paper

discuss

the

consist

continuity

of

function

defined

in

finite

interval

（a,b）

and

infiniti

interval

and

the

several

necessary

and

sufficient

condition

of

condition

of

consistent

continuity

of

function

are

given.

目录

1

绪论

连续以及一致连续的认识3

1.1函数连续的概念

3

1.2

连续的性质3

1.3

函数一致连续的概念4

1.4一致连续的性质

4

2

连续以及一致连续的判别6

2.1

基本概念6

2.2

基本定理10

3

对于连续和一致连续的讨论13

3.1主要结论与证明13

3.2有限区间上函数的一致连续性

15

3.3

无限区间上函数的一致连续性16

谢

辞20

参考文献21

附录21

连续的概念

若f(x)在X。的某领域U（X。）内有定义，且f(x)=f(x),则称函数y=f(x)在X=X。处连续。

连续的性质

根据函数的在点连续性，即可推断出函数在点的某邻域内的性态。

（局部连续性）若函数在点连续，则在点的某邻域内有界。

（局部保号性）若函数在点连续，且，则对任意存在某邻域

时，

（四则运算性质）若函数则在区间I上有定义，且都在

连续，则（）在点连续。

（复合函数的连续性）若函数在点连续，在点连续，，则复合函数在点连续。

(最大最小值定理)

若函数在闭区间上连续，则在闭区间

上有最大值与最小值。

(介值性定理)

若函数在闭区间上连续，且，若为介于之间的任何实数（或）,则在开区间内至少存在一点，使得

.

一致连续的概念

定义一：设在区间有定义,若,使得,只要,就有,则称在X上一致连续。

定义二：设在区间有定义,若,使得,只要，就有,.则称在X上一致连续。

定义三：设在区间有定义,若,使得,只要，就有,.则称在X上一致连续。

一致连续的性质

1.（有界性定理）若函数在闭区间上连续,则在上有界

2.（区间连续性）当函数分别在区间上一致连续,且区间的右端点为,区间的左端点也为（可分别为有限或无限区间）,在区间上的一致连续性.

结论：当函数分别在区间,上一致连续,则在区间上是一致连续的.

3.（介值定理和零值定理）若是有限闭区间上的连续函数,,则介于之间的实数,必使得.作为推论,若,则必使得.

4.设函数在上连续，在上一致连续的充要条件是：及都存在

5.设在

上连续，在上一致连续，且，则在上一致连续。

6.若函数在连续，且，则函数

在上一致连续。

7.函数在区间上非一致连续的充要条件是在上存在两个数列，，使的，但当时

，。

8.若函数在（）上连续且，，（，）都存在，则函数在（）一致连续。

9.

函数与都在上一致连续，则，，(有意义)在上一致连续。

函数一致连续性的概念

设函数在区间有定义，若

有称函数在上一致连续。

例1.证明：函数在上一致连续。

证

：由于，取=，则对任何，只要，就有，故函数在上一致连续。

例2.

证明：函数在区间（其中为常数）上一致连续；在区间上非一致连续。

证

：

（1）由于，取，则对任意当时，就有，故函数在区间（其中为常数）上一致连续；

（2），取，，虽然有

但，故函数在区间上非一致连续。

例3.（1）叙述于区间一致连续的定义;(2)设，都于区间一致连续且有界，证明：也于一致连续。

解：

（1）若有称函数在上一致连续。

（2）由题设，有界，从而存在，使再由，都一致连续，则使且时有令则时，

所以在上一致连续。

例4.函数在上连续，又在上一致连续，，用定义证明：在上一致连续.

证：

由在上一致连续，故，存在

当

，，且时，有

①

同理，在上一致连续，对上述，存在，

当，且时，有

②

令，则对，当且时，

(1)若，由①式有

.

(2)若，由②式也有

.

(3)若，时，则，

所以.

从而得证在上一致连续。

例5.证明：在其中上一致连续，=在上不一致连续。

证:对取区间，当时，，由一致连续的定义知在给定的区间中一致连续。

（2）,在内取

取对任意的，只要n充分大总有

，.

所以在上不一致连续。

例6．设函数定义在区间上。

（1）

用方法叙述在上一致连续的概念；

（2）

设,证明：在上一致连续；

（3）

证明：函数在上非一致连续。

解:（1）

设函数在区间有定义，若

有称函数在上一致连续。

（2），取，则当时，

所以在上一致连续.

(3)

由

例5可知函数在（0,1）上非一致连续.

例7.用定义证明在上一致连续.

证

：令=，先证在上一致连续.

设且

。

取，当且时，有

。即证在上一致连续。

一致连续的基本定理及其应用证明题

1.有限非闭区间的定理1：函数在上一致连续的充分必要条件是在上连续且与

都存在。

2.有限非闭区间的推论1：函数在上一致连续的充分必要条件是在上连续且

存在。

3.有限非闭区间的推论2：函数

在上一致连续的充分必要条件是

在

上连续且存在。

4.组合空间的定理1：（一致连续函数的区间可加性）函数在上一致连续，若，则在上一致连续。

5.无穷区间的定理1：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且存在。

6.无穷区间判别定理的推论：函数在上连续且和都存在。

7.无穷区间的定理2：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且存在。

8.无穷区间定理2推论：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在。

9.类似于有限开区间一致连续性判别法的定理：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在。

10.一般任意区间上的判别法即莱布希茨判别法：若对于定义在区间X上的函数和，有成立，而在上一致连续，则在上也一致连续。

11.一般任意区间上的判别法定理：设函数在区间上连续，且满足在上有界，则在上一致连续。

例1.（1）；

（2）；

（3）。

解：（1）在内连续，且

即都存在，故在一致连续。

(2)在内连续，且，

故一致连续。

（3）满足定理条件，故在区间内一致连续。

例2.若在上连续，存在，则在上一致连续。

证:

因为，由柯西准则，当s时，有.

a

又由于在上连续，从而一致连续，故对上述，当，且时，有

b

取则且时，由a,b俩式知.此即证在上一致连续.

例3.求证：在上一致连续。

证：因为在上连续，又由罗比塔法则可证。由上题

得在一致连续。

例4．已知在上连续，证明：存在。

证：

由假设，对,都有

故当时，有由柯西准则知

存在。

例5.设在有限开区间上连续，证明：在上一致连续的充要

条件是及都存在。

证:

充分性，设,规定

则在上连续，从而在上一致连续，所以在上一致连续。

再证必要性，由上题可证存在，类似上题可证存在。

例6.证明：如果一个函数在区间（0,1）里一致连续，那么存在一个函数在闭区间里连续，并且对任何。

证：由例5可知存在，存在，令

则在里连续，且=，

例7.讨论在上的一致连续性。

解：因为

构造新函数

则在上连续，从而一致连续，所以在上连续，从而一致连续所以在上连续，所以在其上一致连续。

主要结论与证明

1.若函数在闭区间上连续，则在上一致连续。

证明：（用反证法）假设在上不一致连续，则某个正数，对任何正数，都对应的，虽然，但有。

现以表示自然数，令，记与它相应的两点为，虽然，但有

(1)

当取遍自然数时，得数列。由致密性定理,收敛子列，()。

同时也有，且()。由(1)有

（2）

现让(2)式中，再由在连续性知

，这与矛盾，所以在一致连续。

2.

函数在开区间一致连续函数在开区间连续，且都存在。

证明：(必要性)

，由上面证明已知在连续，又由的任意性知

在连续。

下面只证存在，的证法与之类似。

因为在一致连续，

所以，，，有

。

取，则当时，必有

，

也有，。

由上式可以推出

，由极限存在的柯西准则知

存在。

(充分性)

令

则由在连续知，在连续从而一致连续。

3.若在连续单调、有界，则函数在一致连续。

证明：由单调有界性知，存在，由(3)知

在一致连续。

4.若函数在上连续，且，则在一致连续。

证明：由知，，有

。

所以，，，也有

。

则。

而是闭区间，所以在上一致连续。

所以对上述，，且，

有

，即

。

若或,或，一定得出。

综上所述，在一致连续。

对于5也可以改为在上连续，且，，则在一致连续。

证法类似，分别区间为，，(，+)。

则时，必同时在三个区间之一，所以在一致连续。

5.在R上连续周期函数是一致连续函数。

证明

设是一个周期，因为在R上连续，且在上连续，所以一致连续。

即，有

。

：，

存在整数，满足，，

因为

，

所以

，即

。

所以是R上的一致连续函数。

6.若函数在区间I上满足利普希茨条件：

则在I上一致连续。

证：，取，则当且时

所以在I上一致连续。

有限区间上函数的一致连续性及例题

(一致连续性)

若是有限闭区间上的连续函数,则必在上一致连续.

证:(利用有限闭区间的稠密性反证)

假定连续函数不一致连续,即和,,使得,并且,.取的一个子列收敛于,则也收敛于,从而,得到矛盾.□

(最大值和最小值的可达性)

若是有限闭区间上的连续函数,则必,使得,.

作为推论,在上有界.

证:(利用有限闭区间的列紧性)仅证最小值的可达性.令,由1.9的命题2知,使得.取一个子列收敛于,便有,即.

无限区间上函数的一致连续性

若函数在区间（有限或无穷）上单调,且在内处处存在且有界,则函数在开区间

上一致连续.

推论1.

若函数是开区间（有限或无穷）上的凸函数,且拟导数存在,有界,则

在区间

上一致连续.

推论2.

若函数在开区间

（有限或无穷）满足条件：,有

.

和

都存在

在上处处拟可导,且拟导数有界.

则函数在区间上一致连续.

若函数

在区间上满Lipschitz条件,即存在常数,使对任何,都有,则函数

在区间

上一致连续.

在区间上可导,且

在区间上有界,则函数在区间上一致连续.

若函数在可导,且（常数或）,则在

一致连续的充要条件是为常数.

例题

1.证明：函数在上一致连续。

证：

因为

，

所以，，

，.

故单调递减，

.,所以在上有界，设

.,存在，那么当，，且时，

①

其中在之间，

由①式在上一致连续。

2已知==.

(1)证明：对任何实数，在上一致连续；

(2)证明：在上非一致连续。

证:（1）因为在上连续，根据Cantor定理知在上一致连续；

(2)令

但，所以在上非一致连续。

例11.设在上可导，且，证明：在上非一致连续.

证：由知，取，则存在N>0,当时，有。

再取，且和时，

。所以在上非一致连续。

谢

辞

论文得以完成，要感谢的人实在太多了。首先要感谢我的指导老师黄玉才，因为论文是在王老师的悉心指导下完成的。王老师指引我的论文的写作的方向和框架，并对本论文初稿进行逐字批阅，指出论文中需要修改的地方，使我有了思考的方向，他的循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪，他的严谨细致、一丝不苟的作风，将一直是我以后工作、学习中的榜样。在此,谨向王老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！谢谢王老师在我撰写论文的过程中给予我的极大地帮助！

同时要感谢四年来教导过我的各科老师，学院的各位领导，还有在我写论文过程中，帮我一起搜集资料的朋友们。正是因为有你们，才使得这篇论文能完整的呈现在这里，才能是自己完成了这个令人兴奋的任务。

任何一篇优秀的论文都离不开老师和朋友的参与、支持和帮助。而每一篇好的论文又能为大家所分享和阅读，这真是一种善缘，愿我们在这样的关系中能成长和进步。

参考文献

[1]《数学分析》（下册）[M]华东师范大学数学系编

高等教育出版社

[2]《数学分析中的典型问题和方法》[M]

裴礼文

高等教育出版社

2010,3

[3]《数学分析题解精粹》[M]

钱吉林

崇文书局

2010.4

[4]《吉米多维奇数学分析习题集选集》（上）[M]

黄光谷

黄川

蔡晓英

李杨

华中科技大学出版社

[5]《数学分析例题解析及难点注释》（一元函数部分）[M]

李惜文

西安交通大学出版社

21