数学专业毕业论文Frobenius秩不等式取等号的一个新的充要条件

A

New

Necessary

and

Sufficient

Condition

for

Equality

in

Frobenius

Inequality

YAN

Li-ping（071112404）

(School

of

Mathematics

and

Statistical

of

Xiaogan

University,Xiaogan

Hubei

432100)

Abstract:

The

well-known

Frobenius

rank

inequality

established

by

Frobenius

in

1911

states

that

the

rank

of

the

product

ABC

of

three

matrices

satisfies

the

inequality

rank

A

new

necessary

and

sufficient

condition

for

equality

to

hold

is

presented

and

then

some

interesting

consequences

and

applications

are

discussed.

Key

word:

rank

of

matrix;

Frobenius

inequality;

tripotent

matrix

1

引言

矩阵秩的不等式及等式问题一直是矩阵理论中令人关注的课题，在最近的一些文献[1-8]中，研究了任意域或除环上矩阵秩的一些恒等式问题，文献[1]利用两个矩阵多项式秩的和的一个恒等式，给出了下列一些秩等式：

命题1[1]

设，则

（1）

（2）

（3）

（4）

命题2[1]

设，，则

（5）

在命题1与命题2的基础上，刻画了三幂等矩阵的若干秩特征[1]．

文献[2]以矩阵Schur补的秩可加性为基础，得到了任两个矩阵的秩之间联系的恒等式，由此给出了具有重要意义的秩恒等式：

命题3[2]

设，则

（6）

由此得到了判定矩阵是三幂等的充要条件的秩恒等式，即刻画三幂等矩阵的秩特征等式：

命题4[2,3,4]设，则

（7）

文献[5]也从另一角度给出了刻画三幂等矩阵的秩的特征：

命题5[5]

设，则

（8）

此外，文献[1,3]中还给出了若干刻画三幂等或幂等矩阵的，主要方法是利用文献[6]的关于矩阵多项式的如下一个恒等式：

命题6[4]

设，，则

（9）

其中分别是的最大公因式与最小公倍式．

分析这些恒等式可以发现，许多结果都与矩阵秩的Sylvester或Frobenius不等式取等号的条件相关联．关于矩阵秩的Frobenius不等式分别是指

命题7[4]

(Frobenius不等式)

若分别是域上的，，矩阵，则

（10）

特别地，当命题1中矩阵是单位矩阵时，由Frobenius不等式就得到了Sylvester不等式．

在文献[7]中，给出了矩阵秩的Frobenius不等式取等号的一个充分条件，在此基础上获得了一类矩阵多项式秩的恒等式，并由此推广了近期一些文献中的相关结论．而文献[8-10]也对Sylvester或Frobenius不等式取等号的充分必要条件条件进行了探讨，而文献[11]中证明了

命题8[11]

对任意的广义逆和，有

（11）

（12）

由命题2立即得到（10）等号成立的充分必要条件是，对任意选定的和，有

（13）

正如[12]中作者在文末中评论的：“文献[11]给出了式（10）中等号成立的条件，但用到了广义逆矩阵的概念，比较复杂.能否得出等号成立的较为简洁的条件?

这看来也是一个不简单的问题．”

本文将给出一个使(10)等号成立的较为简洁的充分必要条件，利用我们的结果可以把文[1-8]中诸多结论统一起来并进行推广．

本文中所有记号与文[1]相同．

2

主要结果

引理1[13,14]（Roth）

设，，，则矩阵方程

（14）

有解的充分必要条件是矩阵

与

（15）

等价（相抵）.

定理1

设，，，则

（16）

的充分必要条件是存在矩阵、使得.

证明

由（16）式得到

因此式（16）等价于

（17）

由于

（18）

（19）

其中方阵

，，，

都是可逆的，由（18）、（19）式得

（20）

由（20），得式（17）又等价于

（21）

根据引理1，式（21）成立的充分必要条件是存在矩阵、，使得.

3

应用

利用我们的结果，可以直接获文献[1-8]中相关结论.

推论1[7]

设，则

（22）

证明

由，故存在使得则有

等式两边同乘以，得：

由定理1可得

由此得（22）式成立，命题得证.

推论2[3]

设，而分别是的最大公因式和最小公倍式.则

（23）

证明

设，则存在，使

此处.因为，所以有

又

，则存在，使，即

等式两边同乘以，得

由定理1得

即得

（24）

推论2得证.

推论3[5]

设，且，则

（25）

证明

由推论1即得推论3成立.

推论4[6,7]

设，，两两互素，.则

（26）

证明

由推论3对用归纳法可证.

推论5[4]

设，则

证明

取，由推论3即得证.

由此结果可以直接导出幂等阵的一个秩特征：

推论6[8]

设，则.

结束语：本文利用矩阵的广义初等变换，并结合Roth引理，给出了三个矩阵乘积的Frobenius不等式取等号的一个充要条件，这个条件适合用于一类广泛的矩阵.重要的是利用这一结果可以把文献[1-12]中诸多结论同一起来并进行推广.

致谢：感谢胡付高老师的悉心指导.

参考文献

[1]

杨忠鹏,陈梅香,林国钦.关于矩阵方幂的秩恒等式的注记[J].

福州大学学报(自然科学版),2009,37(1):

24-28.

[2]

史及民.

关于Schur补应用的一点注记[J].

应用数学学报,2002,25(2):318-321.

[3]

杨忠鹏,陈梅香,林国钦.

关于三幂等矩阵的秩特征的研究[J].

数学研究,2008,41(3):

311-315.

[4]

王廷明,黎伯堂.

一类矩阵秩恒等式的证明[J].

山东大学学报(理学版),2007,42(2)

:

43-45.

[5]

李书超,蒋君,向世斌,等.

一类矩阵秩的恒等式及其推广[J].

武汉科技大学学报(自然科学版),2004,27(1):

96-98.

[6]

林国钦,杨忠鹏,陈梅香.

矩阵多项式秩的一个恒等式及其应用[J]

.

北华大学学报:自然科学版,2008,9(1):

5-8.

[7]

胡付高,曾玉娥.

一类矩阵多项式秩的恒等式与应用[J].

山东大学学报(理学版),2008,43(8):

51-54.

[8]

胡付高.

关于一类矩阵秩的恒等式注记[J].

武汉科技大学学报(自然科学版),2004,27(3):

321-323.

[9]

黄卫红,杨兴东,周月军.

矩阵Sylvester不等式与Frobenius不等式等号成立的条件[J].

南京气象学院学报,2007,30(2)

:

279-283.

[10]

陈梅香,杨忠鹏,林国钦.

关于Sylvester与Frobenius不等式等号条件的研究[J].

莆田学院学报,2008,15

(2):

9-13.

[11]

王松桂,贾忠贞.

矩阵论中不等式[M].

合肥:

安徽教育出版社,1994.

[12]

韩清.

若干矩阵乘积的秩的下界[J].

佛山科学技术学院学报(自然科学版),2003,21(1):

9-11.

[13]

Roth

W

E.

The

equations

and

in

matrices

[J].

Proc.

Amer.

Math.

Soc,1952,(3):

392-396.

[14]

WANG

Qing

wen.

Generalization

of

roth

s

thearem[J].

J.

Math.

Res.

Exposition,1996,16(1):

35-40

8